7-BÖLÜM
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM
Maddede ve zihinde hasıl olan eşyanın sayılarını beyan eden matematiğin, çok önemli ve çok lüzumlu olan kaidelerini, on kolay yöntem üzere, on madde ile açıklar.
Birinci Madde
Sayının tarifini, sahih sayıları, tam sayıları, dokuz kesiri, mutlak sayıyı, yarım sayıyı, tam sayıyı ve artık sayıyı özet olarak bildirir.
Ey aziz, malum olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Matematik ile özel bilgilerden, bilinmeyen sayı ortaya çıkar. Sayı bir kemmiyettir ki, bir'e ve ondan türeyene denir. Ama sayı eğer mutlak ise, yani başka bir sayıya bağlı değilse ona: Sahib (tam) sayı derler. Eğer farz olunun bir ybaşka sayıya bağlı olduysa ona: Kesir derler. Yarım gibi 1/2. burada (1) pay, (2) paydadır. Dokuz kesir şunlardır: 1/2 (yarım), 1/3) (üçte bir), 1/4 (dörtte bir), 1/5 (beşte bir), 1/6 (altıda bir), 1/7 (yedide bir), 1/8 (sekizde bir), 1/9 (dokuzda bir) 1/10 (onda bir).
Eğer tam sayının, saydığımız dokuz kesirinden bir kesiri varsa yahut kökü varsa ona: Temil sayı derler. Bu durumda olmayanlara asal sayı derler. (4)'ün kökü (2), (9)'un kökü (3)'tür. Fakat asal sayı (11) gibi olur ki, ne kesiri ne kökü vardır. Eğer temel sayı, kendi kesirlerinden olan parçalarıyle eşit olursa ona: Tam sayı derer. (6) gibi. zira ki, (6)'nın yarısı (3), üçtebiri (2), altıda biri (1)'dir, ki toplamı tamam (6)'dır. Eğer temel sayı, kendi parçalarından eksik olursa ona: Artık sayı derler. (12) gibi. Zira ki (12)'in yarısı (6), üçte biri (4), dörtte biri (3), altıda biri (2)'dir ki, bunların toplamı (15)'tir. (15), (12)'den fazla olduğundan ona: Artık sayı derler. Eğer temel sayı, kendi parçalarından fazla olursa ona: Eksik sayı derler. (8) gibi. Zira ki (8)'i yarısı (4), dörtte biri (2), sekizde biri 51)'dir ki toplamı (7)'dir. Bunun için payda olan (8)'e eksik sayı derler.
İkinci Madde
Sayıların usul ve füruunu, basamaklarını; toplamanın, iki kat almanın, ikiye bölmenin, çarpmanın, çıkarmanın, bölmenin, kök almanın, kare kök almanın tariflerini; çarpım ve bölümün sonuçlarını bildirir.
Ey aziz, malum olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Sayıların basamaklarının usulü üçtür: Birler, onlar, yüzler. Füruu da altı olup, toplamı dokuz basamağa ulaşmıştır. İlk başta birler basamağıdır. Bundan sonra sırasıyla: Onalr, yüzler, binler, onbinler, yüzbinler, milyonlar, onmilyonlar, yüzmilyonlar, basamakları vardır. Bu tertibin tablosu şu şekildedir:
Birler Onlar Yüzler Binler Onbinler Yüzbinler Milyonlar Onmilyonlar Yüzmilyonlar.
Özet olarak tarifler: Toplama bir sayıyı, başka bir sayı üzerine eklemektir. Üç ile beşin toplamı sekiz ettiği gibi. Bir sayıdan, diğer bir sayıyı çıkarmaya: çıkarma derler. Beşten iki eksilse üç kaldığı gibi. Bir sayıyı bir kere tekrar etmeye: İki kat alma derler. Birin tekrarı iki olduğu gibi. Bir ayıyı, diğer sayıyla çarpmaya: Çarpma derler. Üçü, beşe çarpmaktan, beş kere üç: onbeş olduğu gibi. Bir sayıyı ikiye bölmeye: Yarısını alma derle. Dördün yarısı, iki; beşin yarısı, ikibuçuk olduğu gibi. Bir sayıyı, diğer bir sayıya bölmeye: Bölme derler. Üçü, ikiye bölünce, birbuçuk, üçe bölünce, bir; altıya bölünce yarım ulunduğu gibi. Bir ayıyı, kendisiyle çarpmaya: Karesini alma derler. Bulunan sayıya ise: Karesi derler. Asıl çarpılan sayıya da: Kök derler. Üçün karesinin alınmasından, dokuz elde edilip, o sayının kökünün üç olduğu gibi. Çarpım, öyle bir sayı elde etmektir ki, iki çarpılandan birin ona nispeti, birin diğer çarpılana nispeti gibidir. Mesela dördü, beşe ya beşi dörde çarpmaktan yirmi sayısı elde edildikte; dört sayısı, yirmi sayısının beşte biridir. Bir sayısı, beşin beşte biri olduğu gibi. Beş sayısı, yirmi sayısının dörtte biridir. Bir sayısı, beşin, beşte biri olduğu gibi. Bölme ise çarpmanın tersidir. Zira ki, bölüm, bir sayı istemektir ki; onun bire nispeti, bölenin bölünene nispeti gibidir. Mesela oniki, dörde bölündükte; istenen sayı üçtür ki, o, birin üç mislidir. Oniki, dördün üç misli olduğu gibi.
Üçüncü Madde
Toplamanın en kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, malum olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Toplamanın en kolay yolu budur ki, iki veya daha fazla sayıyı toplamak murat eyledikte; birler basamaklarını biribirinin altına, onlar basamaklarını, yüzler basamaklarını aynı şekilde biribirlerinin altına yazıp, altı bir çizgi çekersin ki, ona toplama çizgisi derler. Bundan sonra sağdan başlayarak, her basamakta bulunan sayıları, altlarındakiler üzerine ekleyip, her bir basamak tamam oldukça bakarsın. Eğer ondan az ise, onu, toplama çizgisi altına, o basamağın altına yazarsın. Eğer toplam, ona ulaşırsa, buna karşılık alta bir sıfır yazıp, o on sayısını bir sayarsın ve solunda olan onlar basamağındaki sayı üzerine eklersin. Eğer bu basamaktakilerin de toplamı, on'dan fazla olursa, fazlayı, toplama çizgisinin altına ve o basamağın hizasına yazıp, on'u bir itibar ederek yüzler basamağına nakledersin. Her on için bir sayısını tutup, solda bulunan basamağın sayısına eklersin. Zira ki, sağdaki her basamağın on'u, solunda olan basamağın bir'idir. Eğer soldaki basamakta sayı yoksa, tutulan sayıyı, toplama çizgisi altında sayısız basamağın hizasına yazarsın. Her basamağınki yerinde sayı bulunmaz, o basamağı yani o sayıyı aynıyle toplama çizgisi altında toplam satırına geçirirsin. Eğer toplanacak sayılar, üçten ya dörtten fazla olursa: Her dört sayıyı bir çizgi altında toplayıp, toplama çizgisinin üzerinde kalan rakamlara itibar etmeyip, toplamı, kendi altında bulunan sayılara eklersin. Ta sayılar bitinceye dek bu minval üzere gidersin. Her sayının ismini yani her kıymetin metaının adını, sol tarafta kendi mukabilinde belirtirsin. Bu belirtmenin kanunu budur ki, toplanacak sayıların eşyasının isimlerini bir uzun kâğıdın sol tarafına biribirinin altına yazdıkça, her bir ismin sayısını rakamlarla onun sağında hizalarında birler, onlar, yüzler basamaklarında bulunan rakamlarını kendi basamaklarında yazarsın ve sayı bulunmayan basamağa sıfır koyup, işlemi tamamlamak için anlatılan tarz üzere gidersin. Sureti budur:
00373 Mushaf-ı şerif 0032
02318 Tefsir-i mealim 0654
73514 sağlama: 2/2 Tefsir-i gâzi 0710
_______ Tefsir-i kebir
76205 _____
Toplam 2287 Sağlaması: 4/4
Cami-i buhari 0921
Lugat-ı kamus 0567
_____
3775
Üzerinde toplama yapılan kâğıda: Dilli defter; bu rakamlara: Kara cümle derler.
Toplamanın sağlamasını yapmak için her sayıdaki rakamlar toplamında dokuz ve katları çıkarılır. Eğer toplanan sayıların rakamları toplamından dokuz ve katları çıkarılınca bulunan sayı, toplamdaki rakamların toplamından dokuz ve katları çıkarılınca elde edilen sayıya eşitse, yapılan toplama işlemi doğrudur; yoksa yanlıştır.
Dördüncü Madde
Çıkarmanın kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, matematikçiler demişlerdir ki: Çıkarmanın kolay yolu budur ki, alınan iki sayıyı, toplamada yazıldığı gibi, yazıp sağdan başlarsın. Her basamağı kendi hizalarından çıkarıp, kalanını çıkarma çizgisi altında yazarsın. Eğer bir şey kalmadıysa sıfır yazarsın. Eğer çıkarılacaksa işlemi yapıp, kalanını çizginin altına yazarsın. Eğer onlar basamağında sayı kalmadıysa, yüzler basamağından bir alırsın ki, o bir, onlar basamağına nispetle on'dur. Bu durumda öteki basamaklarda da aynı işlemi sürdürürsün.
Çıkarmanın sağlaması; çıkarılan sayılarla çıkan sayıların toplamı, üstteki yani kendisinden çıkarılan sayılar dizisine eşitse, işlem doğrudur. Değilse yanlıştır.
270753
029872
______
240881
Beşinci Madde
İki kat almanın kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, malûm olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Hakikatte iki kat alma, iki misli toplamaktır. İşlemi gereksizdir. Belki her basamağı kendi misliyle toplarsın. Misali budur:
320573
______
641146
Sağlaması: Üstteki sayı dizisinin toplamından (9) lar atılınca, geride 2 kalır. Bunun iki katı dörttür. Alttaki sayıların toplamından dokuzlar atılınca (4) kalır. O halde işlem doğrudur.
Altıncı Madde
Yarıya bölmenin kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, malûm olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Yarıya bölmenin kolay yolu budur ki, sayıları yukarıda geçen minval üzere yazarsın. Yatay çizgiyi çekersin ve solundan başlayarak, her basamağın yarısını kendi hizasına, çizgi altına yazarsın. Sayı çift ise tam yarısını yazarsın. Tek ise o kesir için beş sayı tutup, onu önceki basamakta bulunan sayının yarısı üzerine eklersin. Orada bir'den gayri sayı varsa o tuttuğun beşi, önceki basamağın altına yazarsın. Orada bir veya sıfır varsa, o bir için yine beş sayı tutup, bu minval üzere basamakların sonuna gidersin. Bu durumda basamaklar tamam oldukta; kesir kalırsa, çizginin sağında elif (1) şeklinde başka çizgi çekersin. Şu şekil üzere:
8730313
_______ Sağlama: 7/7
4365156
Yarıya bölmenin sağlaması, yarılayanın toplamı alarak olur. Eğer yarılananın yarısı, yarılayanın yarısı sağlamasıyla uyuşuyorsa işlem doğrudur, yoksa yanlıştır.
Yedinci Madde
Çarpma çeşitlerinin en kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, malûm olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Çarpma üç çeşittir. Birincisi, tek sayıyı bileşik sayıya çarpmaktır. Üçüncüsü bileşik sayıyı bileşik sayıya çarpmaktır.
Birincisi üç kısımdır. Birincisi, tek sayıyı tek sayıya çarpmaktır. İkincisi tek sayıyı; birer, onlar, yüzler, binler basamakları olan sayıya çarpmaktır. Bu iki kısımı çarpmakta kolay yol budur ki: Bu iki kısımda bulunan birlerin gayrisini birlerden olan tarafa verirsin. Birleri birlere çarparsın, elde edileni tutarsın. Bundan sonra iki çarpılanın basamaklarını toplarsın, tutulanı öteki basamağın önceki cinsinden kabul edersin. İkincisinde; meselâ dört sayısını elli sayısına veya üç sayısına dörtyüz sayısına çarpmak murat eyledikte; önceki gibi yirmiyi onlar itibar edersin. Zira ki, basamaklar üçtür ki ikincisi yüzler basamağıdır. Üçüncü kısımda; mesela otuz sayısı kırk sayısına veya kırk sayısı beşyüz sayısına çarpmak gerekse; önceki surette onikiyi yüzler itibar edersin. Zira ki basamaklar dörttür ki o üçüncüsü yüzler basamağıdır. İkinci surette yirmiyi binler kabul edersin. Zira ki basamaklar beştir ki dördüncüsü yüzler basamağıdır. Ama ikinci ve üçüncü çeşitte bileşik sayı, tekine indirilse, önceki çeşide dönersin. O halde tek sayıları birbirine çarpıp, iki çarpımı toplarsın: Üçyüz yirmi dört olur. İkinci surette yirmiyi, her birine başka çarpıp, iki çarpımı toplarsın: Binüçyüz seksene ulaşır. Ama üçüncü çeşitte; mesela ondördü yirmibeş'e çarpmak murat eyledikte; bu surette önce dördü beşe, sonra yirmiye çarparsın, bundan sonra onu, beşe, sonra da yirmiye çarparsın. Bu sonucu toplarsın: Üçyüz elli olur.
Kaide: Eğer iki çarpılanın birini, bir kere ya ziyade katlayıp, son çarpılanı dahi onun sayısı kadar eşit parçaya bölersen, katlama ve parçalamadan sonra her ne miktar sayıya ulaşırsa, birbirine çarparsın. O çarpmanın sonucu cevap olur. Mesela yirmibeş'i, onaltı'ya çarpmak gerektiğinde birinciyi iki kere katlar, ikinciyi iki defa bölersin. Dört sayısını yüz sayısına çarpmağa döndürme olup, dörtyüz olur. Bu kaide çok önemlidir. Bunu bilen, hesabını tez bilir.
Eğer sayıların basamakları çok olur ve işlem zor olursa kalemle kolay olur. Vakta ki teki bileşiğe çarpmak murat edersin. İkisini dahi anlatılan şekilde yazarsın. Bundan sonra teki, önceki basamakta bulunan kendi suretine çarpıp, çarpımın birlerini, birler basamağının altına yazarsın. Onlar için sayılarınca birler tutup, sonrasında sayı varsa, onun çarpım sonucu üzerine eklersin. Eğer sonrasında sıfıra varsa, o onlar sayısını sıfırın altına koyarsın. Eğer onlar bulunup, birler bulunmadıysa altına sıfır koyarsın. Her on için bir tutup, yukarıdaki minval üzere işlemi tamamlarsın. Eğer birleri, sıfıra çarparsan, o sıfırın altına sıfır koyarsın. Eğer birler ile sıfırlar olursa, onarı satırın sağının dışına yazarsın. Mesela beş, ki tek sayıdır, altmışüç bin kırküç sayısına çarpılsa: İşlemin sureti şöyle yazılır:
63043
5
______
315215
Eğer çarpan elli sayısı olursa, çarpım satırında önce bir sıfır koyarsın. Eğer çarpan beşyüz sayısı olursa, iki sıfır koyarsın. Şu şekilde:
63043
500
______ Sağlama: 8/8
31521500
Çarpmanın sağlaması: Çarpanın sağlamasını, çarpılanın sağlamasına çarpmakla olur. Bu durumda çarpımın sağlaması ötekilerinkine uygun geldiyse işlem doğrudur, değilse yanlıştır.
Latife: Eğer ayın günlerini, yılın aylarıyla çarparsak, elde edilen üçyüzaltmış günü, haftanın günlerine çarparsan, dokuz kesirin paydası elde edilir ki: İkibin beşyüz yirmidir. Nitekim Hazreti Ali kerremullahü vecheye, kesirlerin paydasından soruldukta: "Haftanın günlerini çarp seninin günlerine," buyurmuştur. Eğer harf-i ayn olan kesirlerin paydalarını birbirine çarparsan yine dokuz kesirin paydasını bulma yoluna gidersin. Zira ki, ayn sahibi dört, yedi, dokuz ve ondur." Eğer önce dördü yediye, sonra çarpımı dokuza sonra da ona çarparsan: İkibinbeşyüzyirmi elde edilir ki, dokuz kesirin paydalarıdır.
Sekizinci Madde
Bölmenin kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, malûm olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Bölmenin kolay yolu budur ki, öyle bir sayı istersin ki, onu bölene çarpasın ve onun sonucu bölünene eşit ola. Veya bölenden az ve eksik gele. O halde eğer ona eşit olursa, o istenen bölümdür. Eğer o sonuç bölünenden az geldiyse ve bölenden eksik olduysa, o eksik sayıyı bölene nispet edersin. O halde o nispetin sonucu, elde edilen bu sayı ile bölümdür. Mesela: Onüçü, dörde bölmek murat eyledikte; aranan sayı üç olur. Onu bölen sayı olan dörde çarparsan, onun sonucu bölünenden az olur. O bölüm, bölenden eksik olur. Zira ki, o sonuç onikidir. Bu, bölünenden bir sayı eksiktir. Bölüm, bölenden eksiktir. Şimdi o eksik olan bir sayıyı bölen olan dörde, dörtte birle nispet edersen, bölüm üçbuçuk olur. Eğer bölünen ondört olursa, bölüm üçbuçuk olur. Aranan sayının çarpım sonucunun bölünen ile eşit olduğuna misal: Onikiyi dörde bölmek gibidir. Bu surette bölüm üç sayısıdır.
Fazla sayıları bölmek için matematikçiler arasında makbul ve meşhur olan şekil, dört yoldur. Birincisi, bölüneni yazıp, altına bir çizgi çekersin. Bu çizgiyi bölenin altına kadar uzatırsın. Bundan sonra bölüneni bu çizginin üzerinde ve bölenin solunda yazarsın. Sonra bölenin iki katını alıp, altına koyarsın. Ondan onu iki kat alıp yine altına yazarsın. Bundan sonra ikinci bölümü dahi iki kat alıp, sonucu altına kaydedersin. Şimdi buna: Dört ev derler, ki; ilk ev bölendir, ikincisi onun katlamasıdır, üçüncüsü katlamanın katlamasıdır, dördüncüsü onun katlamasıdır. Bundan sonra soldan bölünenin sonundan başlayıp, son basamağa bakarsın. Ondan dört evin mümkün olan fazlasını o basamaktan çıkarırsın. Eğer bir sayı kalırsa, onun üzerine yazıp, o basamağı yok edersin. Onun hizasında çizginin altında çıkarılan evin aynı sayısını yazarsın. Eğer öteki basamaktan çıkarmak mümkün değilse, onun sağında olan basamağı ona ekleyip bu minval üzere işlem yaparsın. Eğer bir basamak eklemekle çıkarmak mümkün olmadıysa, bir başka basamak daha eklersin. Bu ekleme üzere gidersin. Ta o basamaktan dört evin birini çıkarmak mümkün oluncaya dek ve evin sayısını, o basamakların sağında olan önceki basamağın altına koyarsın. Ta bölünenin basamaklarının evveline ulaşınca dek işlemi tamamlarsın. Eğer bölünenden birşey kaldıysa ki ondan böleni eksiltmek mümkün olmaz. Bu durumda o sayı kesirdir ki, onun paydası bölendir. Eğer çizgi altında bölünenin basamaklarından birinin hizasında, evlerin sayılarının biri vaki olmadıysa, oraya bir sıfır koyarsın. Bundan sonra çizginin altında yazılan sayıları toplarsın ki, toplam olur. Mesela dokuzbin yediyüz seksendokuz sayısını, ondörde böldükte; bölüm altıyüz doksandokuz olup, üç artar. O, artık bir kesirdir ki onun paydası ondörttür. Dört ev işleminin sureti böyledir:
11 kesir
_____
121
_____
2323
_____
4167
_____
9789 bölünen
___________
evler
1 014 bölen
2 028 0488
4 056 211
8 112 699 bölüm
_____
140
(Tarif eski usule göre olduğundan şekilde de kitaptaki şekil muhafaza edilmiştir.)
Sağlama: Bölünenin sağlamasını, bölenin sağlamasına çarpıp, artık kesir varsa, onun dahi sağlamasını sonucun üzerine eklemekle olur. Şimdi toplamanın sağlaması, bölünenin sağlamasına uygun olduysa işlem doğrudur. Uygun değilse unutma ve yanlışlık olmuştur, tekrarlamak gerekir.
Dokuzuncu Madde
Sayıların kökünü, kesirlerini ve bayağı kesirlerin hesabının kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, malûm olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Eğer istenen sayı küçük ve tam sayı olursa onun kökünü almak kolay olur. Mesela dördün kökü ikidir. Dokuzun kökü üçtür. Onaltının kökü dörttür. Yirmibeşin kökü beştir. Otuzaltının kökü altıdır. Kırkdokuzun kökü yedidir. Altmışdördü kökü sekizdir. Seksenbirin kökü dokuzdur. Yüzün kökü ondur. Bunların hepsi tam sayıdır. Kökleri de tamsayıdır. Eğer istenen asal sayı olsa, kökü tamsayı olmasa onun kökünü çıkarmakta kolay yol budur ki: O asal sayının küçüğü, kökü tam olan en yakın sayı ile bu sayının farkını alırsın. Tam kökün iki katını alıp, bir ilave edersin. Şimdi bu, takriben o asal sayının köküdür. Mesela beşin kökü alınmak istense, onun altında en yakın ve kökü tam olan dördü, beşten çıkarırsın. Bir kalır. Ona tam kök olan ikiyi katları ve bir eklersen beş olur. Bu durumda beşin kökü iki ve 1/5 olur. Altının en yakın kökü alınan sayısı dörttür. Altıdan dördü çıkarırsan iki kalır. Bu durumda altının kökü iki ve beşte ikidir. Yedinin kökü iki ve beşte üçtür. sekizin kökü iki ve beşte dörttür. Zira ki, bu asal sayılara en yakın kökü alınabilen sayı örttür. Ama onun kökü murat olunsa, onun en yakın kökü alınabilir sayısı dokuzdur. Dokuzu ondan çıkarırsan bir kalır. Dokuzun tam kökünü ikiye katlar ve bir eklersen yedi olur. O halde onun kökü üç tam ve altı bölü yedidir. Onaltının kökü üç tam yedi bölü yedi olur ki, yedi bölü yedi bir ettiğinden onaltının kökü dört olur ve tam sayı olur. Diğer sayıların kökleri de bunlara kıyas ile ortaya çıkıp bilinir.
Bayağı Kesirler
Bayağı kesir, birden başka iki sayıdır. Eğer iki sayı eşitse mütemasildir (benzerdir). Eğer küçüğünü büyüğü götürürse mütedahildir (geçişlidir). Eğer her ikisini bir üçünü sayı götürürse mütevakıftır (bağımlıdır). O kesir ki, üçüncü sayı onun paydasıdır, o kesir iki sayının vakfıdır (uygunudur). Eğer iki sayıyı bir başka sayı götürmezse mütebayindir (uyuşmazdır). Mütemasil açıktır. Fakat ötekilerin çoklarını azına bölersin. Eğer tam bölünürse, o iki sayı mütedahildir. Eğer kaldıysa; böleni; bölünenden kalan sayıya bölersin ta kalmayıncaya değin gidersin. Bu iki sayı da mütevakıftır. Eğer sonunda bir kalırsa o iki sayı mütebayindir.
Kesir, paydası ya tam sayıdır ki ikiden ona kadar dokuz kesirdir. Veya paydası asaldır ki, ona cüz denmiştir. Bu ikisinden her biri ya tek sayıdır ki üçtebir gibi onbirden bir cüz gibi. Veya mükerrerdir ki üçte bir gibi onbirden iki cüz gibi. Veya muzaftır ki altıdabirin yarısı gibi onüçten bir cüzün onbirden bir cüz gibi ve onbirden bir cüz ve onüçten bir cüz gibi.
Kaçan kesiri yazarsan, eğer onunla tam sayı olduysa, onu kesirin üstünde ve kesiri onun altında ve paydanın üstünde yazarsın. Eğer kesir ile tam olmadıysa onun yerine sıfır koyarsın. Bağlı kesirlerde araya ve (+) yazarsın. Muzaf asal kesirlerde araya min (=) yazarsın.
1 2 1
O halde bir tam iki bölü üçü böyle yazarsın: 2 (1 ____) bir tam bir bölü üçü böyle =1
1 0 1 3 0 1 3 (1__) bir bölü üçü böyle = 1 (___) yarımın altıda birini böyle ___ (___) beşte iki ve
3 3 3 1 12
2
0 0 2 3 6 1 1
dörtte üçü böyle = 2 ve 3 (___ ___ onüçte birin onbirde birini böyle __ min __
5 4 5 4 11 13
1 1
(_____ = ____)
13.11 143
Kesirlerin paydasına: Mahrec, mükam, ünam derler. Müfret ve mükerrer kesirlerin paydası aynıdır. Mesela bir bölü dördün paydası dörttür. İki ybölü dört, üç bölü dört gibi mükerrer kesirlerin de paydaları dörttür. Muzaf kesirin paydası, birbirlerine izafe edilen kesirlerin tek tek paydalarının çarpımına eşittir. Bu paydalar ister mütebayin, ister mütevakıf, ister ymütedahil olsunlar. Yine hepsi birbiriyle çarpılır. Beşte birin altıda biri muzaf kesirinin paydası otuzdur. Sekizde birin altıda biri muzaf kesirinin paydası kırksekizdir. Sekizde birin dörtte biri muzaf kesirinin paydası otuzikidir. Matuf kesirin paydalarını ybulmak için iki payda alırsın. Bunlar mütebadiyen ise birbiriyle çarparsın, mütedahil ise büyüğünü alırsın: bu çarpımları üçüncü bir kesirin paydası olarak yazarsın. Kesirler çok ise aynı işleme devam edersin. Matuf kesirler bittiği zaman bulduğun sayı, o kesirlerin paydası olur.
Paydaları ikiden ona kadar olan dokuz bayağı kesirin paydalarını bulmak için, mütehayin olan iki ile üçü çarparsın altı olur. Altı ile dört mütevakıf sayılar olup, ortak bölenleri ikidir. O halde dördü ikiye böler altı ile çarparsın. Elde ettiğin oniki ile mütebayin olan beşi çarparsın. Altı ise elde ettiğin altmış ile mütedahildir, bir ile toplarsın yedi olur. Yedi ile altmış mütebayin oldukları için çarpar, dörtyüzyirmi bulursun.
Tecnis, tam sayılı kesiri bileşik kesir yapmaktır. Bunun için tam sayı, kesirin paydasıyla çarpılır ve paya eklenir. Bulunan sayı bileşik kesirin payı olur ve payda değişmez. Mesela iki tam bir bölü dört, bileşik kesire çevrilse payda dokuz olur. Altı tam üç bölü beş için otuzüç ve dört tam üçte birin yedide biri için seksenbeş olur. Bileşik kesiri, tam sayılı kesire çevirmeye ref' denir. Bunun için büyük sayı olan payı, küçüğü olan paydasına bölersin. Bölüm, tam sayı kısmı olur. Kalan da kesirin payı olur. Mesela onbeş bölü dört kesirinin ref'i, üç tam üç bölü dört olur.
Bayağı kesirleri toplamak ve iki kat almak: Verilen kesirlerin ortak paydasını bulursun. Sonra paydalarını eşitlersin. Bulduğun kesirin payını, paydasına bölersin. Payı büyük olursa tam sayılı kesir olur; payı paydasına eşitse bir olur; payı küçükse aynı kalır. Mesela bir bölü iki, bir bölü üç, bir bölü dört toplanırsa, bir tam altıda birin yarısı olur. Bir bölü altı ve bir bölü üç toplanırsa bir bölü iki olur. Bir bölü iki, bir bölü üç, bir bölü altı toplanırsa bir tam olur. Üç tane bir bölü beşin iki katı alınırsa, bir tam bir bölü beş olur.
1 1 1 6 4 3 13 1
___ + ___ + ___ = ___ + ___ + ___ = ___ = ___
2 3 4 12 12 12 12 2
1 1 1 2 3 1
___ + ___ = ___ + ___ = ___ = ___
6 3 6 6 6 2
1 1 1 3 2 1 6
___ + ___ + ___ = ___ + ___ + ___ = ___ = 1
2 3 6 6 6 6 6
1 3 3 6 1
3 x ___ = ___ -- 2 x ___ = ___ = 1___
5 5 5 5 5
Kesirleri ikiye bölmek için payı çift ise, payın yarısını alırsın. Tek ise paydayı ikiye katlarsın, payı olduğu gibi bırakırsın.
4 2 3 3
___ in yarısı ___ ; ___ in yarısı ___ dur.
5 5 5 10
Çıkarma yapmak için iki kesiri ortak payda cinsinden yazarsın ve birini diğerinden çıkarırsın. Artanı, ortak paydaya pay alırsın. Mesela dörtte bir, üçte birden çıkarsa üçte birin yarısı olur. Çünkü üçte bir ile dörtte birin ortak paydası onikidir. Onikinin üçte biri olan dörtten, dörtte biri olan üçü çıkarırsan bir kalır. Bu ise onikinin altıda birinin yarısıdır.
Bayağı kesirlerin çarpımı:
Tam sayı ile kesiri çarpmak için tam sayı ile kesirin payını çarpar, paydayı aynen yazarsın. Kesir tam sayılı olursa, çarpmadan önce kesiri bileşik kesir haline getirirsin. Elde edilen kesirin payı büyükse paydasına böler ve tam sayılı olarak yazarsın. Mesela iki tam üç bölü beş ile dört tamı çarpmak için iki tam üç bölü beş bileşik hale getirilir ve onüç bölü beş olur. Dört ile çarparsan elliiki bölü beş bulursun ki, on tam iki bölü beş eder. Üç bölü dördü yediyle çarparsan yirmibir bölü dört olur. Kesirin paydası dört olduğundan dörde bölersin ve beş tam bir bölü dört olur. İki kesiri çarpmak için payları ve paydaları çarparsın. Önce elde ettiğini ikiye bölersin. Önce elde edilen büyükse, kesir tam sayılı olur. Çarpılacak kesirler tam sayılı ise, önce onları bileşik kesir haline çevirir sonra çarparsın. Mesela: İki tam bir bölü iki, üç tam bir bölü üç ile çarpılırsa sekiz tam bir bölü üç olur. Üç tam bir bölü dördü beş tam bir bölü yedi ile çarparsan; onaltı tam beş bölü yedi bulursun.
1 1 5 10 50 2 1
2 ___ 3 ___ = ___ + ___ = ___ = ___ = 8 ___
2 3 2 3 8 6 3
1 1 13 36 468 20 5
3 ___ x 5 ___ = ___ x ___ = ___ = 16 ___ = 16 ___
4 7 4 7 28 28 7
Bayağı kesirlerin bölmesi:
Kesirlerin bölmesi sekiz kısımdır. Zira ki, bölünen ya kesir, ya tam veya bileşiktir. Bölen dahi ya tam ya kesir veya tam sayılı kesirdir. Önce tam sayılı kesirler, bileşik kesire çevrilir. Kesiri kesre bölerken, paydalar ortak olacak şekilde çarpma işlemi yapılır. Bulunan paylar bölünür. Bölünen veya bölenden biri tam sayı olursa, tam sayı payda ile çarpılır. Mesela: Beş tam bir bölü dördü, üçe bölersen, bir tam üç bölü dört bulursun. Üçü, beş tam bir bölü dörde bölersen, dört bölü yedi bulursun. Öteki misalleri bunlara kıyas ederek yapabilirsin.
1 21 21 7 3
5 ___ : 3 = ___ : 3 = ___ = ___ = 1 ___
4 4 12 4 4
1 21 12 4
3 : 5 ___ = 3 : ___ = ___ = ___
4 4 21 7
Onuncu Madde
Bilinmeyen sayının bulunmasının kolay yolunu bildirir.
Ey aziz, malûm olsun ki, matematikçiler demişlerdir ki: Bilinmeyen sayıyı bulmak için kurulmuş olan dörtlü orantı kaidesi, her yerde uygulanabilen, kullanışlı, yanlışsız, her zaman doğru ve hesabın esasıdır. Zira bütün bilinmeyenli problemler, bu dörtlü orantı yoluyla çözülebilir. Dörtlü orantı öyle bir dört sayıdır ki, birincinin ikinciye oranı, üçüncünün dördüncüye oranına eşittir. Bu orantıda yanlar ve ortalar çarpımı birbirine eşittir. Eğer yanlardan biri bilinmeyen olursa, iki ortayı çarpar, bilinen tarafa bölersin; bilinmeyen bulunmuş olur. Eğer iki ortanın biri bilinmezse iki tarafı çarpar bilinene bölersin. Çıkan sonuç bilinmeyendir. Mesela: İki, dört, üç ve altı sayıları arasında; ikinin dörde oranı üçün altı'ya oranına eşittir şeklinde bi dörtlü orantı kurulabilir. İki ile altının çarpımı, üç ile dördün çarpımına eşittir. Bu dört sayının biri bilinmezse diğer üç sayının yardımı ile bulunur. Eğer bilinmeyen iki ise ortalar olan üç ile dördü çarparsın. Elde ettiğin onikiyi; bilinen taraf olan altıya bölersin. Bölüm, istenen ikidir. Bilinmeyen altı olsa onikiyi ikiye böler aradığın altıyı bulursun. Eğer ortalardan biri olan dört bilinmezse, iki ve altıdan ibaret olan yanları çarpar, bilinen orta olan dörde bölersin. Aranan üç bulunur. Bu anlatılan usûl, dörtlü orantının çarpma yoludur.
Dörtlü orantının bölme yolu ise şudur ki: İki ortadan biri bilinmese ortalardan birini, belli olan ortaya bölersin. Elde ettiğin bölümü diğer taraf ile çarparsın. İstenen orta bulunur. İki taraftan yanlardan beri bilinmese, iki ortadan birini bilinen tarafa bölersin. Elde ettiğin bölümü diğer orta ile çarparsın ve istenen tarafı bulursun. Meselâ:
2 6
___ = ___ dörtlü orantısını düşün. Burada iki ile dokuza taraflar, üç ile altıya ortalar
3 9 denir. Ortalardan biri olan altı bilinmese, taraflardan biri olan dokuzu üçe böler, diğer taraf olan iki ile çarparsan istenen altı bulunur. Eğer taraflardan biri olan dokuz bilinmese, ortalardan biri olan altıyı diğer taraf olan ikiye böler, diğer orta olan üç ile çarparsın. İstenen dokuz bulunur. Eğer iki bilinmese, üçü, dokuza bölersin. Bulduğun bir bölü üç ile altıyı çarparsan istenen iki bulunur. Eğer üç bilinmese, dokuzu, altıya bölersin. Bulduğun bir tam bir bölü iki ile ikiyi çarparsın, istenen üç bulunur.
Problemler: Gaflet olunmasın ki probmlemler ya fazlaya, ya eksiğe, ya muamelâta, ya toplamaya veya çarpmaya ilişkin olur. Fazlaya bağlı olan soruya misal budur ki: Hangi sayı dörtte biri ile toplandığında üç olur: Bunu dörtlü orantı ile çözmek için verilen kesirin paydası olan dört sayısını alır mehaz dersin. Mehazda soruya göre işlem yaparsın. Yani soruda ekleme yapılmışsa eklersin, eksiltme yapılmışsa eksiltirsin. Bulduğun sayıya orta dersin. Böylece üç bilinen bulunmuş olur ki biri mehaz, biri orta, biri de soruda verilen sayıdır. Bu problemde mehaz dört, orta bir eklenerek beş, verilen sayı da üçtür. Mehazın vasıtaya oranı, bilinmeyenin soruda verilene oranla eşittir. Mehaz ile bilineni çarpıp, ortaya bölersen isteneni bulursun. Misali budur:
4 x 12 2
___ = ___ 5 . x = 12 x = ___ = 2 ___
5 3 5 5
O halde kendisi ile dörtte birinin toplamı üç olan sayı, iki tam iki bölü beştir.
Eksiğe ilişkin olan soruya misal: Kendisinden üçtebiri çıkarılınca altı olan sayıyı bulunuz? Kesrin paydası olan mehaz üçtür. Bir çıkarınca orta iki olur. Bilinen sayı altıdır.
Me'haz Bilinmeyen 3 x
______ = _________ orantısına göre ___ = ___ yazılır.
Orta Bilinen 2 6
Üç ile altıyı çarparsan, elde ettiğin onsekizi ikiye bölerek istenen dokuz sayısını bulursun.
Muamelâta ait soruya misal: Beş rıtlın fiatı üç dirhem olsa, iki rıtlın fiatı kaç dirhemdir?
5 2 5 rıtl 2 dirhem ederse
___ = ___ veya 3 rıtl x dirhem eder
3 x
Bilinmeyen dördüncü ortadır. İki ile üçü çarpıp beşe bölersen, bir dirhem ve bir bölü beş dirhem bulursun. Eğer soru üç dirheme beş rıtl gelirse iki dirheme kaç rıtıl gelir diye sorulsaydı: İki ile beşi zarpar üçe bölerdim; netice üç rıtıl ve bir bölü üç rıtıl olurdu. Çünkü soruların değeri farklı cinsi ile çarpılıp, elde edileni, aynı cinsine bölünür.
Toplamaya bağlı soruya misal: Hangi sayının üçte biri ile dörtte birinin toplamı ondur? Buna benzer sorularda, ortak paydayı bulur ve soruya göre hareket edersin. Ortak payda onikiye, mehaz dersin. Onikinin üçte biri ile dörtte biri toplamı yedi olduğundan orta yedi olur. Soruda verilen on olduğuna göre:
Me'haz Bilinmeyen 12 2
______ = _________ kaidesine göre ___ = ___
Orta Bilinen 7 10
O halde oniki ile onu çarpar, yediye bölersen istenen sayı olarak onyedi tam bir bölü yediyi bulursun.
Çarpma ile ilgili soruya misal: Hangi sayının dörtte biri ile altıda birinin çarpımı, kendisinin iki katına eşittir? Dörtte bir ile altıda birin paydaları dört ve altı olup ortak payda onikidir. O halde mehaz onikidir. Onikinin dörtte biri üç, üçte biri iki olup, çarpımları altı olduğundan orta altı olur. Soruda verilen iki kat olduğu için yirmi dört olur.
Me'haz Bilinmeyen 12 x
______ = _________ kaidesine göre ___ = ___
Orta Bilinen 6 24
O halde oniki ile yirmidördü çarparsın, bulduğun ikiyüz seksensekizi altıya bölersin ve istenen kırk sekiz sayısını bulursun.
Dörtlü orantıda üç sayı bulunup ortalar eşit olursa, meselâ birincinin ikiciye oranı, ikincinin üçüncüye oranına eşit olsa, yanlardan biri de bilinmeyen olsa, ortanın karesini bilinen yana bölersin ve bilinmeyen yanı bulursun. Eğer ortalar bilinmeyen olsa, yanları birbiri ile çarpar ve kare kökünü alırsın, bilinmeyen orta bulunur. Meselâ: İkinin beşe oranı, beşin hangi sayıya oranına eşittir? denilse: Beşin karesini ikiye bölersin. İstenen sayı oniki tam bir bölü iki olur. Yahut da dördün hangi sayıya oranı, o sayının dokuza oranı gibidir? denilse: Yanların çarpımı olan otuzaltının kare kökünü alırsın. İstenen altı sayısı bulunur.
Allah'ı tanımakta yardımcı olan astronomi ilminin tahsilini kolaylaştıran matematik ilminin özetinden bu kadarla yetinilip, astronominin başlangıcı olan geometriye de sıra gelmiştir.
